מתמטריק
שאלה קצרה – סדרה הנדסית אין־סופית עם קוסינוס – בגרות חורף 2026סדרות 571 · שיעור 51
חורף 2026, שאלה 1 · סעיף ד

שיעור 51: שאלה קצרה – סדרה הנדסית אין־סופית עם קוסינוס – בגרות חורף 2026

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים
3סעיף ד (2) – הסדרה הנדסית
4סעיף ד (3) – סכום הסדרה
📄 נוסח השאלה
ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an = cos(π · 2n)5 · 2n לכל n טבעי.
(1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה an.
(2) הוכיחו כי הסדרה an היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.
(3) מצאו את סכום הסדרה an.
ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון
סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים
לכל n טבעי, 2n הוא מספר זוגי, ולכן π · 2n הוא כפולה זוגית של π – והקוסינוס שם שווה 1:
cos(π · 2n) = 1
📐 מחזוריות הקוסינוס
an = 15 · 2n
a1 = 15 · 2 = 110
a2 = 15 · 4 = 120
a3 = 15 · 8 = 140
ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון
📐 מחזוריות הקוסינוס
cos(2πm) = 1
סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים · המשך
a3 = 15 · 8 = 140
✅ פתרון סופי: a1 = 110 , a2 = 120 , a3 = 140
ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון
סעיף ד (2) – הסדרה הנדסית
נחשב את המנה בין איבר לאיבר שלפניו:
an+1an = 15 · 2n+115 · 2n
📐 סדרה הנדסית
= 5 · 2n5 · 2n+1 = 12
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן הסדרה הנדסית.
✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 12
ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון
📐 סדרה הנדסית
המנה an+1an קבועה
סעיף ד (3) – סכום הסדרה
|q| = 12 < 1, ולכן הסכום מתכנס:
S = a11 − q = 1101 − 12
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = 110 · 2 = 15
✅ פתרון סופי: S = 15
ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , |q| < 1

📌 סיכום התשובות

א (1)
פי √2 + 1 ≈ 2.41
א (2)
h ≈ 1.97
ב (1)
5p2
ב (2)
III , p = 16
ג (1)
−4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4
ג (2)
גרף IV
ד (1)
110 , 120 , 140
ד (2)
הנדסית, q = 12
ד (3)
S = 15
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא